Question

证明：单调数列有一收敛子数列，则数列必收敛

Answer 1

证明：

假设数列an收敛于实数A和实数B，其中A≠B，不妨假设A0，使得对于任意的n≥N，总有 

|an-A|

取e=(B-A)/2，那么对于任意的n≥N，必有|an-A|<(B-A)/2即A-(B-A)/2 

即(3A-B)/2 

因此 (3A-B)/2-B 

即 3(A-B)/2 

由于A 因此an-B<(A-B)/2<0对于任意的n≥N成立。

即|an-B|>|A-B|/2对于任意的n≥N成立。

因此存在一个e'=|A-B|/2>0，使得对于任意的N'>0，总会有更大的N''>N且N>N'，使得

对于任意的n≥N''，总是不满足|an-B|

根据数列极限的e-N定义法，数列an不收敛于B。

归谬完毕。