Question

x/(1+x^2)^1/2函数展开成幂级数

Answer 1

x/(1+x^2)^1/2
如题怎样用马克劳林公式展开成x的幂级数？？？
f(x)=x/√（1+x²）
f'(x)=[√（1+x²）-x*(x/√（1+x²）]/(1+x²)
=1/(1+x²)^(3/2)
=(1+x²)^(-3/2)
f''(x)=(-3/2)(1+x²)^(-5/2)*2x=-3x*(1+x²)^(-5/2)
f'''(x)=-3(1+x²)^(-5/2)-3x*(-5/2)(1+x²)^(-7/2)*2x
...
f(0)=0
f'(0)=1
f''(0)=0
...
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2+...
顺便，是不是这样，不是什么函数都能用泰勒展开式展开？只有课本上经常出现的sinx,1/x,ln(1+x)等几个余项为0的才行？
只要函数是连续函数，都可以用泰勒展开式展开的。并不局限于sinx,1/x,ln(1+x)