高一数学必修一函式求值域方法,请给出例题
高一数学必修一函式求值域方法,请给出例题
例如:y=x∧2的值域
解析:因为该函式的影象是在y的正半轴,开口向上,所以该值域是y>=0。
具体问题具体分析,可以数形结合来做,希望对你有帮助。
高一数学必修一函式 经典例题
例3设f(x)是定义在[-1,1]上的的偶函式,f(x)与g(x)影象关于x=1对称,且当x [2,3]时g(x)=a(x-2)-2(x-2)3(a为常数)
(1) 求f(x)的解析式
分析:条件中有(1)偶函式(2)对称轴为x=1(3)含有定义域的函式g(x)(4)引数a
先分析以x=1为对称轴
解:∵x=1为对称轴
∴f(x)=f(2-x)
∵x [-1,1]
∴-x [-1,1]
∴2-x [1,3]
已知的g(x)的定义域为[2,3],故需对2-x进行分类讨论
①2-x [2,3]时
x [-1,0]
f(x)=g(2-x)=-ax+2x3
2-x [1,2]时
x [0,1] -x [-1,0]
f(x)=f(-x)=ax-2x3
高一数学必修4三角函式定义域与值域怎么求?(要例题)
定义域主要有几个方面:
表示式:1、整式形式,取一切实数。
2、分式形式的,分母不为零。
3、偶次根式,大多是二次根式,被开方式非负。
4、指数函式,一切实数。
5、对数形式,真数大于零。
6、实际问题要有实际意义。
等等……
值域根据表示式就可以求了,有时候数形结合是个很好的方法!
高一函式求值域的方法及例题
函式值域的求法:
①配方法:转化为二次函式,利用二次函式的特征来求值;常转化为型如: 的形式;
②逆求法(反求法):通过反解,用 来表示 ,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的取值范围;常用来解,型如: ;
④换元法:通过变数代换转化为能求值域的函式,化归思想;
⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函式,运用三角函式有界性来求值域;
⑥基本不等式法:转化成型如: ,利用平均值不等式公式来求值域;
⑦单调性法:函式为单调函式,可根据函式的单调性求值域。
⑧数形结合:根据函式的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。
1.导数法
利用导数求出其单调性和极值点的极值,最常规,最不易高错,但往往计算很烦杂
2.分离常数
如 x^2/(x^2+1)将其分离成 1-1/(x^2+1)再判断值域
3.分子分母同除以某个变数
如x/(x^2+1)同时除以x得 1/(x+1/X)分母的值域很好求,再带进整个函式即可
4.换元法
可以说是3的拓展
如(x+1)/(x^2+1)一类分子分母同时除以x仍无法判断的。
令t=x+1,再把x^2表示成(t-1)^2,再分子分母同时除以t就成了3中的情形
5.基本换元法
型如1/(x+1)+1/(x+1)^2等,直接令t=1/(x+1),求出t的定义域,可以很快将函式换成型如 t^2+t的形式,从而可求值域。当然,要注意t的定义域
6.倒数法
和2基本相同。如x/(x^2+1)先求其倒数x+1/x,再倒回去,2,6基本类似。
以上是几条比较基本和常用的方法,当然要注意他们的综合应用。
- 解析:
y=√(x²+1)
定义域:(-∞,+∞)
高一数学必修一求值域定义域拔高训练题
由于内容比较多我给你发百度文库的吧
必修一值域定义域练习题:wenku.baidu./view/2d523466fab069dc502201dd.
高一数学必修一二次分式求值域
y=(x²-x+3/2-1/2)/(2x²-2x+3)
=(x²-x+3/2)/(2x²-2x+3)-(1/2)/(2x²-2x+3)
=1/2-1/(4x²-4x+6)
4x²-4x+6=4(x-1/2)²+5>=5
所以0<1/(4x²-4x+6)<=1/5
-1/5<=-1/(4x²-4x+6)<0
3/10<=1/2-1/(4x²-4x+6)<1/2
所以值域[3/10,1/2)
高一数学必修一的函式值域,定域怎么做
已知函式的解析式求其定义域的具体要求是:若解析式为分式函式要求分母不等于零;若解析式为无理偶次根式要求被开方式大于或等于零;若解析式为对数函式要求真数式大于零底数大于零且不等于一;若解析式中含有零次幂因式要求零次幂的底数不等于零
请追问!
高一数学必修4三角函式例题
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函式f(x)=3sin(x2-π4),x∈R的最小正周期为()
A.π2 B.π
C.2π D.4π
【解析】 T=2πω=2π12=4π.
【答案】 D
2.化简sin(9π-α)+cos(-9π2-α)=()
A.2sin α B.2cos α
C.sin α+cos α D.0
【解析】 sin(9π-α)+cos(-9π2-α)=sin(π-α)+cos(π2+α)=sin α-sin α=0.
【答案】 D
3.函式f(x)=tan ωx(ω>0)影象的相邻的两支截直线y=π4所得线段长为π4,则f(π4)的值是()
A.0 B.1
C.-1 D.π4
【解析】 由题意知截得线段长为一周期,∴T=π4,
∴ω=ππ4=4,
∴f(π4)=tan (4×π4)=0.
【答案】 A
4.已知角α的终边上一点的座标为(sin 2π3,cos 2π3),则角α的最小正值为
()
A.5π6 B.2π3
C.5π3 D.11π6
【解析】 ∵sin 2π3>0,cos 2π3<0,
∴点(sin 2π3,cos 2π3)在第四象限.
又∵tan α=cos 2π3sin 2π3=-33,
∴α的最小正值为2π-16π=116π.
【答案】 D
5.要得到函式y=sin(4x-π3)的影象,只需把函式y=sin 4x的影象()
A.向左平移π3个单位长度
B.向右平移π3个单位长度
C.向左平移π12个单位长度
D.向右平移π12个单位长度
【解析】 由于y=sin(4x-π3)=sin[4(x-π12)],所以只需把y=sin 4x的影象向右平移π12个单位长度,故选D.
【答案】 D
6.设函式f(x)=sin(2x+π3),则下列结论正确的是()
A.f(x)的影象关于直线x=π3对称
B.f(x)的影象关于点(π4,0)对称
C.把f(x)的影象向左平移π12个单位长度,得到一个偶函式的影象
D.f(x)的最小正周期为π,且在[0,π6]上为增函式
【解析】 f(π3)=sin(2×π3+π3)=sin π=0,故A错;
f(π4)=sin(2×π4+π3)=sin(π2+π3)=cos π3=12≠0,故B错;把f(x)的影象向左平移π12个单位长度,得到y=cos 2x的影象,故C正确.
【答案】 C
7.(2012•福建高考)函式f(x)=sin(x-π4)的影象的一条对称轴是()
A.x=π4 B.x=π2
C.x=-π4 D.x=-π2
【解析】 法一 ∵正弦函式影象的对称轴过影象的最高点或最低点,
故令x-π4=kπ+π2,k∈Z,∴x=kπ+3π4,k∈Z.
取k=-1,则x=-π4.
法二 x=π4时,y=sin(π4-π4)=0,不合题意,排除A;x=π2时,y=sin(π2-π4)=22,不合题意,排除B;x=-π4时,y=sin(-π4-π4)=-1,符合题意,C项正确;而x=-π2时,y=sin(-π2-π4)=-22,不合题意,故D项也不正确.
【答案】 C
8.(2013•西安高一检测)下列函式中,以π为周期且在区间(0,π2)上为增函式的函式是()
A.y=sinx2 B.y=sin x
C.y=-tan x D.y=-cos 2x
【解析】 C、D中周期为π,A、B不满足T=π.
又y=-tan x在(0,π2)为减函式,C错.
y=-cos 2x在(0,π2)为增函式.
∴y=-cos 2x满足条件.
【答案】 D
9.已知函式y=sin πx3在区间[0,t]上至少取得2次最大值,则正整数t的最小值为()
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】 T=6,则5T4≤t,如图:
∴t≥152,∴tmin=8.
故选C.
【答案】 C
10.(2012•天津高考)将函式f(x)=sin ωx(其中ω>0)的影象向右平移π4个单位长度,所得影象经过点(3π4,0),则ω的最小值是()
A.13 B.1
C.53 D.2
【解析】 根据题意平移后函式的解析式为y=sin ω(x-π4),将(3π4,0)代入得sin ωπ2=0,则ω=2k,k∈Z,且ω>0,故ω的最小值为2.
【答案】 D
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,将答案填在题中的横线上)
11.已知圆的半径是6 cm,则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm2.
【解析】 15°=π12,∴扇形的面积为S=12r2•α=12×62×π12=3π2.
【答案】 3π2
12.sin(-120°)cos 1 290°+cos(-1 020°)sin(-1 050°)=________.
【解析】 原式=-sin(180°-60°)•cos(3•360°+210°)+cos(-1 080°+60°)•sin(-3×360°+30°)
=-sin 60°cos(180°+30°)+cos 60°•sin 30°
=-32×(-32)+12×12=1.
【答案】 1
13.(2013•江苏高考)函式y=3sin(2x+π4)的最小正周期为________.
【解析】 函式y=3sin(2x+π4)的最小正周期T=2π2=π.
【答案】 π
图1
14.已知函式f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的影象如图所示,则ω=________.
【解析】 由影象可知,
T=4×(2π3-π3)=4π3,
∴ω=2πT=32.
【答案】 32
15.关于x的函式f(x)=sin(x+φ)有以下命题:
①对于任意的φ,f(x)都是非奇非偶函式;②不存在φ,使f(x)既是奇函式又是偶函式;③存在φ,使f(x)是奇函式;④对任意的φ,f(x)都不是偶函式.
其中假命题的序号是________.
【解析】 当φ=2kπ,k∈Z时,f(x)=sin x是奇函式;
当φ=(2k+1)π,k∈Z时,f(x)=-sin x仍是奇函式;
当φ=2kπ+π2,k∈Z时,f(x)=cos x或φ=2kπ-π2,k∈Z时,f(x)=-cos x都是偶函式.
所以①和④是错误的,③是正确的.
又因为φ无论取何值都不能使f(x)恒为零,故②正确.所以填①④.
【答案】 ①④
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分12分)已知角x的终边过点P(1,3).
(1)求:sin(π-x)-sin(π2+x)的值;
(2)写出角x的集合S.
【解】 ∵x的终边过点P(1,3),
∴r=|OP|=12+32=2.
∴sin x=32,cos x=12.
(1)原式=sin x-cos x=3-12.
(2)由sin x=32,cos x=12.
若x∈[0,2π],则x=π3,
由终边相同角定义,∴S={x|x=2kπ+π3,k∈Z}.
17.(本小题满分12分)已知函式f(x)=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0)影象上的一个最高点的座标为(π8,22),则此点到相邻最低点间的曲线与直线y=2交于点(38π,2),若φ∈(-π2,π2).
(1)试求这条曲线的函式表示式;
(2)求函式的对称中心.
【解】 (1)由题意得A=22-2=2.
由T4=3π8-π8=π4,
∴周期为T=π.
∴ω=2πT=2ππ=2,
此时解析式为y=2sin(2x+φ)+2.
以点(π8,22)为“五点法”作图的第二关键点,则有
2×π8+φ=π2,
∴φ=π4,
∴y=2sin(2x+π4)+2.
(2)由2x+π4=kπ(k∈Z)得x=kπ2-π8(k∈Z).
∴函式的对称中心为(kπ2-π8,2)(k∈Z).
18.(本小题满分12分)(2012•陕西高考)函式f(x)=Asin(ωx-π6)+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其影象相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)求函式f(x)的解析式;
(2)设α∈(0,π2),f(α2)=2,求α的值.
【解】 (1)∵函式f(x)的最大值为3,∴A+1=3,即A=2.
∵函式影象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,
∴最小正周期T=π,∴ω=2,
∴函式f(x)的解析式为y=2sin(2x-π6)+1.
(2)∵f(α2)=2sin(α-π6)+1=2,
∴sin(α-π6)=12.
∵0<α<π2,∴-π6<α-π6<π3,
∴α-π6=π6,∴α=π3.
19.(本小题满分13分)已知y=a-bcos 3x(b>0)的最大值为32,最小值为-12.
(1)求函式y=-4asin(3bx)的周期、最值,并求取得最值时的x的值;
(2)判断(1)问中函式的奇偶性.
【解】 (1)∵y=a-bcos 3x,b>0,
∴ymax=a+b=32,ymin=a-b=-12,解得a=12,b=1.
∴函式y=-4asin(3bx)=-2sin 3x,
∴此函式的周期T=2π3.
当x=2kπ3+π6(k∈Z)时,函式取得最小值-2;
当x=2kπ3-π6(k∈Z)时,函式取得最大值2.
(2)∵函式解析式为y=-2sin 3x,x∈R,
∴-2sin(-3x)=2sin 3x,即f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函式.
20.(本小题满分13分)函式f1(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的一段影象过点(0,1),如图所示.
图2
(1)求函式f1(x)的表示式;
(2)将函式y=f1(x)的影象向右平移π4个单位,得函式y=f2(x)的影象,求y=f2(x)的最大值,并求出此时自变数x的集合,并写出该函式的增区间.
【解】 (1)由题意知T=π=2πω,∴ω=2.
将y=Asin 2x的影象向左平移π12,得y=Asin(2x+φ)的影象,于是φ=2×π12=π6.
将(0,1)代入y=Asin(2x+π6),得A=2.
故f1(x)=2sin(2x+π6).
(2)依题意,f2(x)=2sin[2(x-π4)+π6]
=-2cos(2x+π6),xKb 1. Com
∴y=f2(x)的最大值为2.
当2x+π6=2kπ+π(k∈Z),
即x=kπ+5π12(k∈Z)时,ymax=2,
x的集合为{x|x=kπ+5π12,k∈Z}.
∵y=cos x的减区间为x∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z,
∴f2(x)=-2cos (2x+π6)的增区间为{x|2kπ≤2x+π6≤2kπ+π,k∈Z},解得{x|kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z},
∴f2(x)=-2cos(2x+π6)的增区间为x∈[kπ-π12,kπ+5π12],k∈Z.
图3
21.(本小题满分13分)已知定义在区间[-π,2π3]上的函式y=f(x)的影象关于直线x=-π6对称,当x∈[-π6,2π3]时,函式f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π2<φ<π2),其影象如图所示.
(1)求函式y=f(x)在[-π,2π3]上的表示式;
(2)求方程f(x)=22的解.
【解】 (1)由影象可知,A=1,T4=2π3-π6=π2,
∴T=2π.
∴ω=2πT=2π2π=1.
∵f(x)=sin(x+φ)过点(2π3,0),
∴2π3+φ=π.
∴φ=π3.
∴f(x)=sin(x+π3),x∈[-π6,2π3].
∵当-π≤x<-π6时,-π6≤-x-π3≤2π3,
又∵函式y=f(x)在区间[-π,2π3]上的影象关于直线x=-π6对称,
∴f(x)=f(-x-π3)=sin[(-x-π3)+π3]=sin(-x)=-sin x,x∈[-π,-π6].
∴f(x)=sinx+π3,x∈[-π6,2π3],-sin x,x∈[-π,-π6.
(2)当-π6≤x≤2π3时,π6≤x+π3≤π.
由f(x)=sin(x+π3)=22,得x+π3=π4或x+π3=3π4,
∴x=-π12或x=5π12.
当-π≤x<-π6时,由f(x)=-sin x=22,即sin x=-22得x=-π4或x=-3π4.
∴方程f(x)=22的解为x=-π12或5π12或-π4或-3π4.