Question

用向量的方法怎样证明三角形正弦定理？

Answer 1

步骤1

记向量i ,使i垂直于AC于C,△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i（a+b+c）

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H 

CH=a·sinB 

CH=b·sinA 

∴a·sinB=b·sinA 

得到a/sinA=b/sinB 

同理,在△ABC中,

b/sinB=c/sinC 

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R 

类似可证其余两个等式。