Question

向量法证明正弦定理

Answer 1

向量法证明正弦定理步骤如下：

步骤1：记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB，BC，CA为向量a，b，c

∴a+b+c=0

则i（a+b+c）

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

步骤2

在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H   

CH=a·sinB   

CH=b·sinA   

∴a·sinB=b·sinA   

得到a/sinA=b/sinB   

同理，在△ABC中，   

b/sinB=c/sinC   

步骤3.   

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：   

任意三角形ABC，作ABC的外接圆O，  

作直径BD交⊙O于D，连接DA，  

因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度   

因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C.   

所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R   

类似可证其余两个等式。