Question

在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0（n≥2）．

Answer 1

（1）将3anan-1+an-an-1=0（n≥2）整理得： 1an- 1an-1=3(n≥2)
所以{ 1an}是以 1a1=1为首项,3为公差的等差数列
所以： 1an=1+3(n-1)=3n-2,即an= 13n-2
（2）若λan-an+1≤0恒成立,即λ≤ an+1an恒成立整理得：λ≤ 3n-23n+1=1- 33n+1
设f(x)=1- 33x+1,作图或求导可知,f（x）在x∈(- 13,+∞)上单调递增,
即当n=1时,[1- 33n+1]min= 14
所以λ的取值范围为λ∈(-∞, 14)
（3）①n=2时,左边=b2= 14= 12＜右边= 23( 4-1)= 23,所以不等式成立；
②假设n=k时,b2+b3+bk＜ 23( 3k-2-1)
则n=k+1时,b2+b3+bk+bk+1＜ 23( 3k-2-1)+bk+1= 23( 3k-2-1)+ 13k+1
要证：n=k+1时也成立,只需证 23( 3k-2-1)+ 13k+1＜ 23( 3k+1-1)�� 13k+1＜ 23( 3k+1-1)- 23( 3k-2-1)�� 13k+1＜ 23( 3k+1- 3k-2)�� 13k+1＜ 23( 33k+1+ 3k-2)�� 3k-2＜ 3k+1显然成立．
所以n=k+1时不等式也成立
综合①②对任何的n≥2的整数b2+b3+bn＜ 23( 3n-2-1)
（4）假设存在实数M使得Tn＜M,
由bn= an,得bn= an= 13n-2= 22 3n-2＞ 23n-2+ 3n+1= 23( 3n+1- 3n-2)
所以,Tn=b1+b2+…+bn＞ 23( 3×1+1- 3×1-2+ 3×2+1- 3×2-2+…+ 3n+1- 3n-2)= 23( 3n+1-1)
即 23( 3n+1-1)＜Tn,
所以若Tn＜M,则 23( 3n+1-1)＜M,对于事先给定M这是不可能的
所以不存在M使得对任何的n∈N*,Tn＜