Question

已知F1、F2分别是双曲线X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点,

P为双曲线上一点,过F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹为？

Answer 1

延长f1h与PF2的延长线相交与一点A。不妨设P位于右支上，则有PF1-PF2=2a.
根据题意得：PH为线段AF1的中垂线∴PF1=PA.将其代入得:PA-PF2=2a∴F2A=2a,即A的轨迹是个圆。
又∵H为AF1的中点，
∴H点的轨迹方程为X^2+Y^2=a^2,即点H的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆。

Answer 2

∵F1是左焦点
∴F1A>F2A
∴∠F1AF2一定是锐角
∵AB⊥x轴
∴F2A=F2B
∠F1AF2=∠F1BF2
∵三角形ABF2是锐角三角形

∴只需∠AF2B是锐角
∵∠AF2F1=∠BF2F1=1/2∠AF2B<1/2*90°=45°
∴∠AF2F1=∠BF2F1<45°
将x=-c代入x^2/a^2-y^2/b^2=1
c^2/a^2-y^2/b^2=1
y=±b^2/a
∴AF1=b^2/a
F1F2=2c
tan∠AF2F1=AF1/F1F2<1
b^2/(2ac)<1
c^2-2ac-a^2<0
e^2-2e-1<0
1-√2<e<1+√2
∵双曲线
∴1<e<1+√2

Answer 3

一个圆
x^2+y^2=a^2
(做一个轴对称,对称轴是角平分线)