Question

关于二次函数的难题 及答案

Answer 1

二次函数的难题
1已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x（如图所示）与x的另一交点为A现将它向右平移m（m＞0）位，所得抛物线与x轴交于C、D点，与原抛物线交于点P
（1）求点P的坐标（可用含m式子表示）
（2）设△PCD的面积为s，求s关于m关系式．
（3）过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E，交平移后的抛物线于点F．请问是否存在m，使以点E、O、A、F为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）首先将抛物线表示出顶点式的形式，再进行平移，左加右减，即可得出答案；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，根据当0＜m＜2，当m=2，即点P在x轴时，当m＞2即点P在第四象限时，分别得出即可；
（3）根据E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2由轴对称可知PE=PF，表示出E点的坐标，再把点E代入抛物线解析式得出即可．
解答：
解：（1）原抛物线：y=-2x2+4x=-2（x-1）2+2，
则平移后的抛物线为：y=-2（x-1-m）2+2，
由题得
，
解得
，
∴点P的坐标为（
，
）；
（2）抛物线：y=-2x2+4x=-2x（x-2）
∴抛物线与x轴的交点为O（0，0）A（2，0），
∴AC=2，
∵C、D两点是抛物线y=-2x2+4x向右平移m（m＞0）个，
单位所得抛物线与x轴的交点∴CD=OA=2，
①当0＜m＜2，即点P在第一象限时，如图1，作PH⊥x轴于H．
∵P的坐标为（
，
），
∴PH=
，
∴S=
CD•2•（-
m2+2）=-
m2+2，
②当m=2，即点P在x轴时，△PCD不存在，
③当m＞2即点P在第四象限时，如图2，作PH⊥x轴于H．
∵P的坐标为（
，
），
∴PH=
，
∴S=
CD•HP=
×2×
=
m2-2；
（3）如图3若以E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2
由轴对称可知PE=PF，
∴PE=
，
∵P（
，
），
∴点E的坐标为（
，
），
把点E代入抛物线解析式得：
，
一个抛物线形的桥洞，洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，o为原点建立平面直角坐标系。求：一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面在同一平面）？
设方程
y=ax^2+bx+c
图象过点(0,0)
(6,0),和(3,3)代入
c=0
0=36a+6b
3=9a+3b
算得
a=-1/3,
b=2
图象
函数解析式
y=-x^2/3+2x
（2）宽度2就可以通过（长为3不用）
设刚好通过时与抛物线交点为c、d，c(x1,h),d
(x2,h)得到h=-x1^2/3+2x1,h=-x2^2/3+2x2,
|x1-x2|=2以上3个方程联立，不妨设x2>x1整理得
x2-x1=4
,x2+x1=6
x1=2
x2=4
将x1=2代入抛物线方程得h1=8/3