Question

f(x)=aⅹ²-4x+a-1在[-1,2]上不单调,则a的取值范围是多少？

Answer 1

如果一个函数在某一区间上不单调，意味着函数在该区间上存在局部最大值和局部最小值（或者两者都有）。而对于二次函数来说，它的单调性取决于 a 的值，因此我们可以通过分析局部最值相关的条件来得出 a 的取值范围。
首先，我们先求出 f(x) 的一阶导数和二阶导数：
f(x) = 2ax - 4<br>f``(x) = 2a<br><br>在 [-1, 2] 区间内，当 f(x) = 0 时，有可能存在极值点。因此，我们可以得到以下方程：
2ax - 4 = 0
a = 2 / x
因为 a 是未知数，所以我们需要分别考虑左端点和右端点处的情况。当 x = -1 时有
a = 2 / (-1) = -2
当 x = 2 时有
a = 2 / 2 = 1
接下来，我们需要分别对两种情况进行分析。
当 a = -2 时，f(x) 的表达式为：
f(x) = -2x² - 4x - 3
我们可以求出它的判别式 Δ：
Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4 * (-2) * (-3) = 16 - 24 = -8
因为判别式小于 0，所以当 a = -2 时，f(x) 在该闭区间内（即 [-1, 2] 区间内）都没有实数解，因此它不单调。
当 a = 1 时，f(x) 的表达式为：
f(x) = x² - 4x
我们可以求出它的一阶导数和二阶导数：
f(x) = 2x - 4<br>f``(x) = 2<br><br>当 f``(x) = 2 > 0 时，表明 f(x) 的二次项系数大于 0，因此当 x ∈ [-1, 2] 时，f(x) 在该区间内保持凸性（即 f(x) 在该区间内是单调递增的）。因此，如果它不单调，那么在该区间内至少存在一个极大值或极小值。
我们可以再一次求导来求出 f(x) 的极值点：
f`(x) = 0
2x - 4 = 0
x = 2
然后，我们确定该点是否是一个极大值或极小值。我们通过二阶导数来判断：当 f(x) > 0 时，该点是一个极小值；当 f(x) < 0 时，该点是一个极大值。而当 f(x) = 0 时，则需要通过其他方法来进一步分析。<br><br>在这个例子中，当 x = 2 时，我们有<br>f(2) = 2 > 0，
因此，x = 2 是一个极小值点。为了确定它是否是该函数的唯一极值点，我们需要再次考虑 a 的取值范围。
当根据一次导数的求值方法，可以得到 -1 < x < 2 时，f(x) 单调递减，因此相应的极大值点应该在该区间之前。因为不存在这类极值点，所以我们得出结论，x = 2 是该函数在 [-1, 2] 区间内唯一的极小值点。
综合以上分析，当且仅当 a = 1 时，f(x) 在 [-1, 2] 区间内单调递增或递减。因此，a 的取值范围为 a ∈ {1}。

Answer 2

f(x) = ax²-4x+a-1 = a(x - 2/a)^2 + a-1-4/a, 对称轴 x = 2/a，
f(x) 在 [-1, 2] 上不单调, 则 -1 < 2/a < 2
-1 < 2/a 即 (2+a)/a > 0, 解集为 a<-2 或 a>0 ；
2/a < 2 即 (1-a)/a < 0, 解集为 a<0 或 a>1.
则 a 的取值范围是 a<-2 或 a>1.