Question

矩阵A可逆当且仅当什么？

Answer 1

矩阵的行列式为0(|A|=0，或者说矩阵不满秩）的时候，则矩阵A不可逆。

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

矩阵可逆的充分必要条件：

AB=E；A为满秩矩阵（即r(A)=n）；A的特征值全不为0；A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）；A等价于n阶单位矩阵。

A可表示成初等矩阵的乘积；齐次线性方程组AX=0 仅有零解；非齐次线性方程组AX=b 有唯一解；A的行（列）向量组线性无关；任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。其实以上条件全部是等价的。

矩阵乘法

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义。

一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑地集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型，如电力系统网络模型。

Answer 2

n阶矩阵A可逆当且仅当A与单位矩阵等价；当且仅袜册当单位矩阵E可以经过若干次行初等变换化为矩阵A；当且仅当存在若干个初等矩阵闷空E1,E2,...Et,使得Et...E2E1=A即A是t个蚂好瞎初等矩阵的乘积.,[sport.s4h0zj.cn/article/362975.html]
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