Question

高等数学题目

设区域D：|x|≤1,0≤y≤1,则二重积分ff (1+x^2sinx)dxdy的值等于？

ff是二重积分符号，最好有解题思路，加分！
第二个同学的解答中，由于x的取值范围关于原点偶对称，请问这句话摄那么意思？

Answer 1

先做y的积分，结果为f(1+x^2sinx)dx。其中fdx=2；x^2sinx是奇函数，那么你在分别在（-1,0）和（0,1）两个区间上对x积分的话，f（-1,0）x^2sinxdx，令u=-x，则上式可以变换为f（1,0）u^2sinudu（这个化简应该知道吧，这里把u再换成x就行了），则此式刚好与f（0,1）(1+x^2sinx)dx的值相反，所以f（-1，1）(1+x^2sinx)dx=0，最后结果直接为f（-1,1）dx=2 。 PS:高等数学的话，一般是大一吧，关于x的奇函数和偶函数在x的对称区间上对x积分，这些一般都是性质吧，多看看书。以后解多重积分的时候会用到更多的，可以避免不必要的运算。

Answer 2

设区域D：|x|≤1,0≤y≤1,则二重积分∫∫ (1+x²sinx)dxdy的值等于
∫∫ (1+x²sinx)dxdy
=∫(1+x²sinx)dx
=2xcosx

Answer 3

你是不是觉得题目错了？ff (1+x^2sinx)dxdy，你是不是觉得f(x,y)=1+x^2sinx连个y都没有啊。
其实是无所谓滴~二重积分常规思路是分1、x型，2、y型
你这个就可以当成x型做嘛，就是这里f就是积分符号了啊~内个s我打不出来
f（-1,1）dxf（0，1）1+x^2sinx dy=f（-1,1）dx【1+x^2sinx】y（1,0） =
f（-1,1）（1+x^2sinx ）dx
关键下面就是求1+x^2sinx的定积分了嘛~这个还要我教么？。。。

Answer 4

被积函数可以分成关于x的偶函数1和奇函数x^2sinx的和，可以分开积分
由于积分区间是关于y轴对称的，即对于x积分来说是偶的。（就是你要问的，他的表达我也没这么听过）所以ff x^2sinxdxdy的积分是0
于是只对1积分，等于面积，即2