Question

微积分题目 1.y'=x(1-y^2)^(1/2). 求y 2.(x^2-9)y'+xy=0, y(5)=1. 求y

Answer 1

具体过程如下：
令y=tx（当然这个t是关于x的函数）
那么y'=t'x+t,原式变为：
t'x+t=【(tx）^2-2x*tx-x^2)】/【(tx)^2+2x*tx-x^2)】
t'x+t=(t^2-2t-1）/(t^2+2t-1)
t'x=-(t^3+t^2+t+1)/(t^2+2t-1)
下面是换成微分的形式，运用t'=dt/dx，得到：
一、当t不等于-1时；
【-(t^2+2t-1)/（t^3+t^2+t+1)】dt=【1/x】dx
两边分别积分：
注意到-(t^2+2t-1)/（t^3+t^2+t+1)=1/(t+1)-2t/(t^2+1)
所以积分得到ln|t+1|-ln|t^2+1|=ln|x|+c
(c为常数)
化简得到|(t+1)/(t^2+1)|=e^c
*
|x|
脱去绝对值符号后得到
(t+1)/(t^2+1)=正负e^c
*
x
(t+1)/(t^2+1)=cx(c为非0常数，注意这里的c与c不通)
即x+y=c(x^2+y^2)
(c为非0常数）
1式
二、等t=-1时，左边t'x=0，右边-(t^3+t^2+t+1)/(t^2+2t-1)=0
这说明t=-1是方程的特解，即x+y=0
2式
综合1式和2式我们得到最终的通解为：
将y=tx代入得到：
x+y=c‘(x^2+y^2)
（c’为常数）
3式
因为y(1)=-1
所以1+（-1）=c‘（1^2+(-1)^2）
c’=0
把c‘=0代入到3式中得到原题答案为：
y=-x

Answer 2

解微分方程：
1.y'=x√(1-y²)；求y
2.(x^2-9)y'+xy=0,
y(5)=1.
求y
解：1。dy/dx=x√(1-y²)
分离变量得
dy/√(1-y²)=xdx，
两边分别积分之得
arcsiny=(1/2)x²+C；即y=sin[(1/2)x²+C]为
其通解。
2.(x²-9)y'+xy=0,，y(5)=1；
(x²-9)(dy/dx)=-xy，分离变量得：(1/y)dy=-xdx/(x²-9)；即有(1/y)dy=-(1/2)d(x²-9)/(x²-9)
积分之，得lny=-(1/2)ln(x²-9)+lnC，故通解为
y=C/√(x²-9)；用y(5)=1代入得1=C/√(25-9)
故C=4，于是特解为
y=4/√(x²-9).