Question

证明线性无关的

Answer 1

这不是线性代数课本的题吗？第一问假设这一大堆线性相关，则由于基础解系线性无关，所以第一个向量可以由基础解系线性表示，所以它也是齐次方程的一个解，代入等于0.而题目告诉你，它又是非其次方程的解，本来代入应该等于向量b，所以矛盾。第二问，用第一问的向量组组成一个矩阵，然后进行初等列变换，可以最终得到第二问的向量组组成的矩阵，所以两个向量列等价，所以秩相等，所以两个向量组的秩相等。因为第一个向量组已经证明线性无关了，所以秩应该等于向量的个数，所以，第二个向量组的秩也等于向量的个数，所以线性无关。ps：跟楼主同考山大，互相祝福一下。。。

Answer 2

设k1（B+α1）＋k2（B+α2）＋...＋ks（B+αs）＝0
...(1)
(k1+k2+...+ks)B+k1*a1+...+ks*as=0
向量组α1,α2。αs是线形方程组Ax=0的基础解系，向量B不是方程组AX=0的解,说明B不能由α1,α2,...αs线性表示（若能由其线性表示那么B必定是方程组Ax=0的解），从而B,α1,α2,...αs线性无关，所以依定义(k1+k2+...+ks)＝0，k1＝0，...，ks＝0.所以也就得（1）式线性无关（定义）。证毕。