Question

求解，为什么摆线积分为4π^3?

Answer 1

因为摆线的方程为 x=a（t-sin t）,y=a（1-cos t）,其中0<t<2π。令摆线绕y轴旋转而成的旋转体体积为V。

所以 V=∫2πx*y*dx，其中积分区域为［0，2πa］，而且 dx=x´ dt=a(1-cos t) dt

将 x=a（t-sin t）,y=a（1-cos t），dx=x´ dt=a(1-cos t) dt代入积分方程得

V=∫2π*a（t-sin t）*a（1-cos t）*a(1-cos t) dt=2π*a^3*∫（t-sin t）*（1-cos t）*(1-cos t) dt

其中积分区域为［0，2π］。

所以 V=2π*a^3*∫（t-sin t）*（1-2cos t+cos^2t）dt，其中积分区域为［0，2π］。

即 V=2π*a^3*∫（t-2t*cos t+t*cos^2t-sin t+sin 2t-sin t*cos^2t）dt，其中积分区域为［0，2π］。

计算解得  V=2π*a^3*2π^2=4*π^3*a^3。

扩展资料：

摆线面积求法

一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：

微分，

于是可以求得

参考资料来源：百度百科-摆线