Question

已知f(x)满足xf"(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x)

若f'(t)=0(t不等于0)，则？
答案是：f(t)为f(x)的极小值点。
我想知道怎么看出是极小值，而不是极大值或拐点？
谢谢~

Answer 1

f''(t)=[1-e^(-t)]/t
t<0时：e^(-t)>1，即1-e^(-t)<0，从而f''(t)>0
t>0时：e^(-t)<1，即1-e^(-t)>0，从而f''(t)>0
故t≠0时，f''(t)>0，因此f(t)为f(x)的极小值点

Answer 2

xf"(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x)
put x = t
tf"(t)+3t[f'(t)]^2=1-e^(-t)
tf''(t)= 1- e^(-t)
f''(t) = [1- e^(-t)]/t > 0 ( min)
是极小值