Question

求下列各函数在指定点处的偏导数: f（x,y）=arctany/x,求fx（1,1）,fy（1,1

Answer 1

由于函数z=f（x，y）在点（1，1）的梯度为（fx（1，1），fy（1，1））=（fx（1，1），-1）
而已知y=x3是f的一条等高线，因此它在点（1，1）的切向量为（1，3）
∴由函数在某点的梯度向量与过该点的等高线是正交的，得
（fx（1，1），-1）?（1，3）=fx（1，1）+3=0
∴fx（1，1）=-3

Answer 2

f(x,y)=arctan(y/x)
那么对x
求偏导数得到
f
'x=
1/
[(y/x)^2+1]
*(y/x)'
=1/
[(y/x)^2+1]
*
(
-y/x^2)
=
-y
/(x^2+y^2)
而对y
求偏导数得到
f
'y=
1/
[(y/x)^2+1]
*(y/x)'
=
1/
[(y/x)^2+1]
*(y/x)'
=1/
[(y/x)^2+1]
*
1/x
=
x
/(x^2+y^2)
所以得到
fx(1,1)=
-1/2
fy(1,1)=
1/2