Question

设Ω是由z=√(x^2+y^2)及z=√(1-x^2-y^2)做组成，计算∫∫∫(x+z)dv

Answer 1

z＝√（x^2+y^2)是开口往上的圆锥，z=√(1-x^2-y^2)是开口往下的圆锥，
两者的交线是x^2+y^2=0.5，z＝√(0.5)。在xy平面的投影是d：x^2+y^2<=0.5。
被积函数x关于yz平面是奇函数，积分区域关于yz平面对称，因此积分值是0。
故∫∫∫(x+z)dv＝∫∫∫zdv
＝∫∫_d
dxdy
∫下限√（x^2+y^2)
上限√(1-x^2-y^2)
zdz
＝0.5∫∫_d
(1－x^2－y^2－x^2－y^2)dxdy
极坐标变换x＝rcosa，y＝rsina，0<=a<=pi，0<=r<=根号(0.5)
＝0.5积分（从0到2pi）da
积分（从0到根号(0.5)）(1－2r^2)rdr
=pi/8。