Question

问一个微分几何题，数学系的来

这些我都明白的，就是这个方程不会解啊，他说用z除以c平方乘这个方程，可以消去z和z的导数项，根本消不掉啊。我还找到一个答案，它解这个方程是把方程看成关于(x',y',z')的二次型，然后能推出x=0,or y=0, or z=0, 然后只有y=0的情况可能，可是这个方程是关于x，y，z完全对称的啊，怎么能有这种结论呢。。。。

Answer 1

解释下原文的答案：
令g(x,y,z)=x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 - 1
则 g=0 就定义了原文中的椭球面。

g的梯度grad(g) = 2(x/a^2, y/b^2, z/c^2)。对于椭球面的任意切向量v，由于在椭球面上g
是常数0，所以g在v方向的方向导数为0，也即 <grad(g), v> = v(g) = 0

这说明grad(g)垂直于椭球面。设N是椭球面的外向单位法向量。那么grad(g)和N方向相同，从而存在曲面上的函数f，使得grad(g)/2 = fN. 即 (x/a^2, y/b^2, z/c^2)=fN.

二次基本形式II作为切空间的二次型，对任意的切向量v, w，有II(v,w) = <Dv(N), w>. 其中Dv(N)是N在v方向的（绝对）微分。对于脐点，有II=kI，其中k是脐点处的法曲率，I是一次基本形式。
所以脐点处任意切向量v，w, 有 <Dv(N),w>=II(v,w)=kI(v,w)=k<v,w>=<kv,w>，从而Dv(N)=kv

于是对于曲面上任意曲线a, 设v=da/dt是它的切向量，就有
d(fN)/dt = Dv(fN) = v(f)N+fDvN = v(f)N + fkv
从而 d(fN)/dt 与 v 的叉乘 d(fN)/dt x v = v(f)N x v
显然这个叉乘垂直于N，所以 < d(fN)/dt x v, N > = 0
这就是原文答案中的方程。解这个方程就得到了脐点的位置。