Question

若直线Y=X+B与曲线Y=3-根号下4X-X^2有公共点,则B的取值范围是

Answer 1

对曲线Y=3-根号下4X-X^2进行改写：
y=3-√(4x-x^2)=3-√[4-(x-2)^2]
显然，由于根号内大于等于0，且小于等于4，故y的取值在1和3之间
有：
(y-3)^2+(x-2)^2=4,即曲线为圆的一部分，圆心坐标为（2，3）
易知，曲线表示圆的下半部分
若直线Y=X+B与曲线有交点，则
B≪3(B=3时恰好有一交点，更大时没有）
当直线和半圆相切时，B取到最小值
可以这样来求：
和圆相切的直线L1与当B取最大值时的直线L2的距离为2+√2（直线斜率为1，圆半径为2）
设直线L1交x轴于D点，过D向L2作垂线，其距离显然为2+√2，
故两直线在x轴的交点的距离为2+2√2，
由于直线L2交x轴于（-3，0）
故L1交x轴于（2√2-1，0）
从而B的最小值为1-2√2
B的取值范围为【1-2√2，3】
（我采用的是和图形相结合的方法，图形你自己画一下，很容易理解的）

Answer 2

x+b=3-√(4x-x²）
x+b-3=-√(4x-x²）
x²+2(b-3)x+(b-3)²=4x-x²
2x² -（2b+10)x+(b-3)²=0
△=[-（2b+10)]²-4*2*(b-3)²=-4b²+88b+28≥0
b²-22b-7≤0
(b-11)²≤128
│b-11│≤8√2
-8√2≤b-11≤8√2
11-8√2≤b≤11+8√2

Answer 3

从而b的最小值为1－2√2，所以b的取值范围为〔1－2√2，3〕