Question

若实数X，Y，Z满足X2+Y2+Z2＝1，则XY+YZ+ZX的取值范围

Answer 1

假设X，Y，Z都是正数
因为X2+Y2+Z2=1，所以（X2+Y2）+（X2+Z2）+（Y2+Z2）=2
又因为X2+Y2>=2xy,x2+z2>=2xz,y2+z2>=2yz
所以（X2+Y2）+（X2+Z2）+（Y2+Z2）>=2(xy+xz+yz)
即2>=2(xy+xz+yz)
所以xy+xz+yz<=1，有最大值1

若X，Y，Z都是负数，同理。有最小值-1
XY+YZ+ZX的取值范围是[-1，1]。

Answer 2

(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx>=0
所以xy+yz+zx>=-1/2
(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx>=0
所以xy+yz+zx<=1/2
所以-1/2<=xy+yz+zx<=1/2

Answer 3

y^2+yz+z^2=a^2,yz≥0
z^2+zx+x^2=b^2,zx≥0
x^2+xy+y^2=c^2,xy≥0
yz+zx+xy=0，x＝y＝z＝0
(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)=0 y^2+yz+z^2=a^2,yz≥0
z^2+zx+x^2=b^2,zx≥0
x^2+xy+y^2=c^2,xy≥0
yz+zx+xy=0，x＝y＝z＝0
(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)=0 y^2+yz+z^2=a^2,yz≥0
z^2+zx+x^2=b^2,zx≥0
x^2+xy+y^2=c^2,xy≥0
yz+zx+xy=0，x＝y＝z＝0
(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)=0 y^2+yz+z^2=a^2,yz≥0
z^2+zx+x^2=b^2,zx≥0
x^2+xy+y^2=c^2,xy≥0
yz+zx+xy=0，x＝y＝z＝0
(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)=0

Answer 4

解：∵xy+yz+zx≤
x2+y2
2
+
y2+z2
2
+
x2+z2
2
=x2+y2+z2=1，
又∵2（xy+yz+zx）=（x+y+z）2-（x2+y2+z2）≥0-1=-1，
∴xy+yz+zx≥-
1
2
．
故选B．