Question

周期函数积分性质证明

周期函数的定积分的问题
设f(x)是定义在R上,且以T为周期的连续函数,a为任意常数,证明：f(x)在a到a+T上的定积分= f(x)在0到T上的的定积分

Answer 1

换元即可

∫[a,a+T] f(x) dx 令 u = x﹣a,du = dx

= ∫[0,T] f(u) du

= ∫[0,T] f(x) dx

x=np+x'不是周期函数的性质，只是数的性质而已，任何一个数x，不管它多大，不断地减去p，最终一定会得到小于p的数x’。例如p=3，x=10000，则x=3333×3+1，其中的1就是那个x‘。

扩展资料：

常见的周期信号有：正弦信号、脉冲信号以及它们的整流、微分、积分等。这类可称为简单信号。它们的特点是在一个周期内的极值点不会超过两个且周期性特征明显。对于这类已明确具有周期特性的信号，周期与否的判别相对简单，周期测量的方法也很成熟完善，如：过零检测法，脉冲整形法等。

参考资料来源：百度百科-周期信号

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

话不多说
∫[a,a+T] f(x)dx=∫[a,0] f(x)dx + ∫[0,T] f(x)dx + ∫[T,a+T] f(x)dx
对最后一个积分换元u=x-T
∫[T,a+T] f(x)dx
= ∫[0,a] f(u+T)d(u+T)
= ∫[0,a] f(u)du 因为f(u+T)=f(u)
= ∫[0,a] f(x)dx
又∫[a,0] f(x)dx+∫[0,a] f(x)dx=0
所以
∫[a,a+T] f(x)dx=∫[a,0] f(x)dx + ∫[0,T] f(x)dx + ∫[0,a] f(x)dx
=∫[0,T] f(x)dx

Answer 4

换元即可
∫[a,a+T] f(x) dx 令 u = x﹣a,du = dx
= ∫[0,T] f(u) du
= ∫[0,T] f(x) dx