Question

已知抛物线L的方程为x^2=2py,（p>0）,o为坐标原点,F为抛物线的焦点,...

已知抛物线L的方程为x^2=2py,（p>0）,o为坐标原点,F为抛物线的焦点,直线y=x截抛物线L所得弦|OB|=4根号2 1）求P 2）抛物线上是否存在异于点O,B的点C,使得经过OBC三点的圆和抛物线在点C处有相同的切线,求C 第一问答案2,第二问答案貌似是（-2,1）但是我不知道怎么求的,我自己算的是,求出一条与OB距离相等的直线y=x-4,然后用这上面的点和设的C点求距离,但是做不出来.

Answer 1

答：
（1）把y=x代入抛物线x^2=2py,解得：x1=0,x2=2p
所以B点坐标为（2p,2p）
|OB|=√[(2p-0）^2+(2p-0)^2]=2√2p=4√2
所以p=2
抛物线方程为：x^2=4y,点B坐标为（4,4）
(2)OB的垂直平分线为：y-(4+0)/2=-[x-(4+0)/2],即：y=-x+4
O,B,C的外接圆圆心一定在该直线上.设点C（2m,m^2).
OC直线为：y-0=(x-0)(m^2-0)/(2m-0),y=mx/2
OC的垂直平分线为：y-(m^2+0)/2=[x-(2m+0)/2]*(-2/m),y=-2x/m+(m^2+4)/2
与y=-x+4直线的交点O'[-m(m+2)/2,4+m(m+2)/2]即为圆心.
抛物线4y=x^2,y'=x/2,在C点的切线斜率为y'(2m)=2m/2=m
所以半径CO'的斜率应为-1/m,即：
[4+m(m+2)/2-m^2]/[-m(m+2)/2-2m]=-1/m
解得：m1=-1,m2=2
故点C坐标为（-2,1）或者（4,4）,由于（4,4）是B点坐标,C是异于O,B的点,
故点C坐标只能是（-2,1）.