Question

圆与直线的位置关系

角BAC=90度，ABC=60度，AB=2，AD为BC边上的高，过点C，D的圆O交AC于E，连接BE交圆O于F。求BF*BE的值。设AE=X，用含X的代数式表示三角形BDF的面积S。

Answer 1

1) ∵ AB=2, BC=4, AC=2√3，
∴BD/AB=AB/BC===>BD=2*2/4=1
∵根据圆的割线定理知：BF*BE=BD*BC=1*4=4
2) 过点F作FG⊥BC,过点E作EH⊥BC
∵AC=2√3; AE＝X; AD=√3;且AD‖EH
∴EC/AC=EH/AD=CH/DC
===>(2√3-X)/2√3=EH/√3===>EH=√3-X/2
===>CH=3-X√3/2===>BH=BC-CH=4-3+X√3/2=1+X√3/2
∵FG‖EH
∴BD/BH=FG/EH
∴1/(1+X√3/2)=FG/(√3-X/2)===>FG=(2√3-X)/(2+√3X)
∴S=BD*FG/2=(2√3-X)/(4+2√3X)