Question

已知：三角形ABC中，AB=AC,AD是BC边上中线，AB的垂直平分线交AD与点O，角B的平分

已知：三角形ABC中，AB=AC,AD是BC边上中线，AB的垂直平分线交AD与点O，角B的平分线交AD于点I.求证;OA=OB=OC,I到BC,CA,AB的距离相等

Answer 1

解：(1)连接OB、OC
在△AOB和△AOC中，
∵AB=AC（等腰△）
∠BAO=∠OAC（等腰△三线合一）
AO为公共边
∴△AOB≌△AOC（SAS）
∴0B=OC

在△AOE和△BOE中，（E为AB边上的垂直平分点）
∵AE=EB（垂直平分线）
∠AEO=∠BEO
OE为公共边
∴△AOE≌△BOE（SAS）
∴OA=OB

又∵0B=OC（已证）
∴OA=OB=OC

(2)过I做AB、AC边上的垂线分别交其于P、Q点
在△PAI和△AIQ中，
∵∠API=∠AQI=90°
∠PAI=∠QAI（等腰△三线合一）
AI为公共边
∴△PAI≌△AIQ（AAS）
∴PI=QI

在△PBI和△BID中，
∠BPI=∠IDB=90°
∠PBI=∠IBD（BI为角平分线）
BI为公共边
∴△PBI≌△BID
∴PI=ID

又∵PI=QI
∴PI=QI=DI

Answer 2

根据三角形 外角 等于 不相邻的两个内角之和 这一原理
对于 三角形 AHB，角AHE 是一个外角
∠AHE = ∠ABH + ∠HAB =
= (1/2)*∠B + (1/2)*∠A
= (1/2)* (∠B + ∠A)
= (1/2) * ( 180 度 - ∠C)
= 90 度 - (1/2)*∠C

而 在直角三角形 CHG中，
∠CHG = 90度 - ∠GCH
= 90度 - (1/2)*∠C

因此 ∠AHE = ∠CHG