Question

紧急，在线等数学高手求解高中数学关于椭圆的题目

设F1，F2，为椭圆左右焦点，A为右顶点，直线l ：my-c=x交椭圆于两点P,Q,且有向量AP*向量AQ=(a+c)^2/2
1,请求椭圆的离心率的范围
2.若离心率e的范围：（1/2,2/3），求m的范围
3.若直线AP,AQ交直线 x=-a^2/c于M,N两点，求向量OM*向量ON的值
求详细过程，拜托了，我已经算了好几小时了

Answer 1

(1)x^2/a^2+y^2/b^2=0 与my-c=x联立得(b^2m^2+a^2)y^2-2mb^2cy+b^2(c^2-a^2)=0
y1+y2=2mb^2c/(b^2m^2+a^2), y1y2= b^2(c^2-a^2)/ (b^2m^2+a^2)
设A(a,0),P(x1,y1),Q(x2,y2) ，x1=my1-c,x2=my2-c
AP•AQ=(x1-a,y1)(x2-a,y2)=( x1-a)( x2-a)+y1y2
( x1-a)( x2-a)=x1x2-a(x1+x2)+a^2=m^2y1y2-m(a+c)(y1+y2)+(a+c)^2
AP•AQ=( x1-a)( x2-a)+y1y2= (m^2+1)y1y2-m(a+c)(y1+y2)+(a+c)^2=(a+c)^2/2
得到m(a+c)(y1+y2)- (m^2+1)y1y2=(a+c)^2/2
带入得到m(a+c)* 2mb^2c/(b^2m^2+a^2)- (m^2+1)b^2(c^2-a^2)/(b^2m^2+a^2)= (a+c)^2/2
等式两边同时除以(a+c)^2，得到
2m^2c(a-c)/ (b^2m^2+a^2)+(m^2+1)(a-c)^2/(b^2m^2+a^2)=1/2
4 m^2c(a-c)+2(m^2+1)(a-c)^2= b^2m^2+a^2
b^2m^2+a^2-4ac+2c^2=0
m^2=-( a^2-4ac+2c^2)/b^2>0, a^2-4ac+2c^2<0,2e^2-4e+1<0
(2-√2)/2<e<(2+√2)/2,因为0<e<1, (2-√2)/2<e<1
(2) m^2=-( a^2-4ac+2c^2)/b^2
= -( a^2-4ac+2c^2)/(a^2-c^2)
=(4e-2e^2-1)/(1-e^2)
=2-[4/(1+e)]+1/(1-e^2)
在（1/2，2/3）上，-4/(1+e)是增函数, 1/(1-e^2) 是增函数, 2-4/(1+e)+1/(1-e^2) 是增函数
e=1/2, m^2=2/3,e=2/3, m^2=7/5,2/3< m^2<7/5
(3)设M(-a^2/c,yM),N(-a^2/c,yN)
过P，Q做X轴垂线，根据相似y1/yM=(a-x1)/(a+a^2/c) ,y2/yN=(a-x2)/(a+a^2/c)
OM•ON=(-a^2/c,yM) (-a^2/c,yN)=(a^4/c^2)+yM*yN
yM*yN=(a+a^2/c)^2*y1y2/[( a-x1)( a-x2)]
=(a+a^2/c)^2* y1y2/[ m^2y1y2-m(a+c)(y1+y2)+(a+c)^2] （代入并同时除以(a+c)^2）
=(a+a^2/c)^2*[-(a-c)^2]/[-m^2(a-c)^2-2m^2c(c-a)+b^2m^2+a^2]
=(a+a^2/c)^2*[-(a-c)^2]/a^2
=-[(a^2/c)-c]^2
OM•ON=(a^4/c^2)+yM*yN=(a^4/c^2) -[(a^2/c)-c]^2=2a^2-c^2

Answer 2

很简单，直接先设椭圆方程，然后与直线方程联立，用韦大定理，然后再用向量乘积，自己去慢慢解吧，应该没什么问题的