Question

在三角形ABC中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1

在三角形ABC中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则C=？

Answer 1

【解】两边平方
(3sinA＋4cosB)^2＝36
得9sin^2A +16cos^2B +24sinAcosB=36 ①

(4sinB＋3cosA)^2＝1
得16sin^2B +9cos^2A +24sinBcosA=1 ②

①+ ②
得：（9sin^2A +9cos^2A） +（16cos^2B+ 16sin^2B） +24sinAcosB+24sinBcosA=37

即 9+16+24sin(A+B)=37
所以sin(A+B)=1/2,
所以A+B=5π／6 或者π/6

若A+B=π／6，则cosA>√3/2

3cosA>3√3/2>1 ，则4sinB＋3cosA>1 这是不可能的

所以A+B=5π／6

因为A+B+C=180
所以 C=π/6

Answer 2

引进辅助角
3sinA+4cosB=6
5(3/5sinA+4/5cosB)=6 9/25sin~2A+24/25sinAcosB+16/25cos~2B=36/25
5(4/5sinB+3/5cosA)=1 16/25sin~2B+24/25sinBcosA+9/25cos~2A=1/25
相加 9/25+16/25+24/25sin(A+B)=37/25
24/25sin(A+B)=12/25
sin(A+B)=1/2
sinC=1/2
C=30

Answer 3

两个等式两边同时平方再展开就可以解出来了。

Answer 4

两式分别平方，就可以寻找到关系了，这是思路，不作答了，~~

Answer 5

3sinA+4cosB=6
（称为一式）
3cosA+4sinB=1（称为二式）
一式的平方+二式的平方，有
9+16+24（sinAcosB+cosAsinB）=36+1
所以sin（A+B）=0.5
又：3cosA=1-4sinB<1
即：cosA<1/3<1/2
所以A>arccos0.5=60°
所以A+B=150°
所以∠C=30°。所以选A
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