Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*)，数列{bn}满...

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*)，数列{bn}满足b1=1，且点P(bn，bn+1) (n∈N*)在直线y=x+2上. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)求数列{an•bn}的前n项和Dn.

Answer 1

解答:解:(1)①当n=1，a1=2.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1，
∴an=2an-1(n≥2)，
∴{an}是等比数列，公比为2，首项a1=2.
∴an=2n.
②点P(bn，bn+1) (n∈N*)在直线y=x+2上，
∴bn+1=bn+2，
∴{bn}是等差数列，公差为2，首项b1=1，
∴bn=2n-1
(2)由(1)可得:an•bn=(2n-1)×2n，
∴Dn=1×21+3×22+5×23+7×24+…(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n①
2Dn=1×22+3×23+5×24+7×25+…(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1②
①-②得-Dn=1×21+2×22+2×23+2×24+…2×2n-(2n-1)×2n+1=2+2×
4(1-2n-1)
1-2
-(2n-1)×2n+1=2n+1(3-2n)-6.
∴Dn=(2n-3)2n+1+6.