Question

已知数列{an}的前n项和为sn,且sn=2an-2(n=1,2,3,,,)

(1）求数列｛AN｝通项公式AN
(2)设bn=an/(an-1)(2an-1)，数列｛BN}的前N项和为Tn，求证2/3<=Tn<=1

Answer 1

(1) Sn=2an-2
当n=1时 S1=2a1-2 解得a1=2
当n>1时 S(n-1)=2a(n-1)-2
an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
所以{an}是公比为2的等比数列
通项公式an=a1*2^(n-1)=2^n
(2) bn=2^n/(2^n-1)(2*2^n-1)=1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1]
所以Tn=(1-1/3)+(1/3-1/7)+...+{1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1]}
=1-1/[2^(n+1)-1]
很明显当n≥1时 2^(n+1)>1
所以Tn<1
随着n的增加，1/[2^(n+1)-1]逐渐减少
所以当n=1时，Tn最小=1-1/(2^2-1)=1-1/3=2/3
所以2/3≤Tn<1
得证
希望能帮到你O(∩_∩)O

Answer 2

解:1. an=sn-sn-1=（2an-2）-（2an-1-2）=2（an-an-1）
即an=2an-2an-1
an=2an-1，an/an-1=2
即数列{an}是等比数列，公比q=2
当n=1时，a1=s1=2a1-2
a1=2，则通项公式为an=2×2^n-1=2^n
2.∵an/an-1=2
∴bn=an/(an-1)(2an-1)=1/an-1（n≥2），
bn/bn-1=an-2/an-1=1/2
∴{bn}也为等比数列，公比q2=1/2，b1=1/2
Tn=(1/2)^(n+1)-1