Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2–(2/n+1)an

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2–(2/n+1)an 求证：数列{an/n}是等比数列，

Answer 1

a1=S1=2-[(2/1)+1]a1
整理，得4a1=2 a1=1/2
n≥2时，
Sn=2-[(2/n)+1]an
Sn-1=2-[2/(n-1) +1]a(n-1)
Sn-Sn-1=an=2-[(2/n)+1]an-2+[2/(n-1) +1]a(n-1)
整理，得
[2(n+1)/n]an=[(n+1)/(n-1)]a(n-1)
2an/n=a(n-1)/(n-1)
(an/n)/[a(n-1)/(n-1)]=1/2，为定值。
a1/1=(1/2)/1=1/2
数列{an/n}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
an/n=(1/2)×(1/2)^(n-1)=1/2ⁿ

Answer 2

证明：
当n=1时，a1=s1=2-(2/1+1)a1
解得：a1=1/2
即a1/1=1/2
当n≥2时，
an=Sn-S(n-1)
=2-(2/n+1)an-{2-[2/(n-1)+1]}a(n-1)
=-(2/n+1)an+[2/(n-1)+1]a(n-1)
即an+(2/n+1)an=[2/(n-1)+1]a(n-1)
(2/n+2)an=(n+1)/(n-1)*a(n-1)
2(n+1)/n*an=(n+1)/(n-1)*a(n-1)
即an/n*2=a(n-1)/(n-1)
∴(an/n)/[a(n-1)/(n-1)]=1/2
∴数列{an/n}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列