Question

如图所示，四棱锥P—ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直。

底面ABCD是菱形，且角ADC=60°，M为PB中点
求证：平面CDM⊥平面PAB

Answer 1

两种方法可解。不过过程都挺复杂的，我说些关键的思路和步骤好了。
（1）传统的几何解法。①PC=BC=2，M是PB中点，所以CM⊥PB。那么只要再证明CM⊥AB或者PA的话，就能得证了。②数量关系，作PH⊥CD于H，MO⊥HB于O，则CO⊥CD。有了这些垂直关系后，就能通过大量的数量关系求出MC^2+CD^2=MD^2，即MC⊥(CD // AB)。
因为CM⊥PB，CM⊥AB，所以CM⊥面PAB，即面CDM⊥面PAB。
（2）空间向量解法。思路很简单，但计算也挺复杂的。PH⊥CD，AH⊥CD，则可以H为原点，CD、AH、PH为x、y、z轴建立空间坐标系，找出（一定要看仔细）六个点的坐标，分别求出面CDM与面PAB的法向量m、n，再经过计算得出m⊥n，则两面垂直。