Question

如图所示，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB,AC与圆O相交于E.F，求证AE×AB=AF×AC

Answer 1

夜猫猫_涵er，你好：

（图见参考资料。）

1）如图1．
连接DE、DF，AD为直径，则∠AED＝90°＝∠ADB；又∠BAD＝∠BAD。
则△AED∽△ADB，AD/AE＝AB/AD，AD^2＝AE×AB⑴；
同理△AFD∽△ADC，AD/AF＝AC/AD，AD^2＝AF×AC⑵。
∴AE×AB＝AF×AC

2）如图2．结论依然成立。
过点D作BC的平行线分别交AB、AC的延长线于B'，C'。
则AB/AB'＝AC/AC'，AB×AC'＝AC×AB'⑴；
又AD⊥BC，则AD⊥B’C’。连接DE、DF，则1）的结论可知：AE×AB’＝AF×AC’⑵
⑴×2）得：AE×AB×（AB'AC'）＝AF×AC×（AB'×AC'）
故：AE×AB＝AF×AC。

3）如图3。结论依然成立。
过点D作BC的平行线，分别交AB、AC于B'，C'。
则AB/AB'＝AC/AC'，AB×AC'＝AC×AB'⑶；
又AD'⊥BC，则AD⊥B’C’。连接DE、DF，则1）的结论可知：AE×AB’＝AF×AC’⑷
⑶×⑷得：AE×AB×（AB'AC'）＝AF×AC×（AB'×AC'）
故：AE×AB＝AF×AC。