Question

已知a,b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底，求证a*b＞b*a？ （*是a的b次幂的意思）

看到答案·但是为什么要设成f(x)=x ln a -a ln x？ 即 b ln a >a ln b.
所以 a^b>b^a也不明白·

Answer 1

证明：构造函数f(x)=x㏑a-a㏑x.(x≥a＞e).求导得f'(x)=(㏑a)-(a/x).∵x≥a＞e.∴㏑a＞㏑e=1.且1≥a/x＞0.===>f'(x)=(㏑a)-(a/x)＞0.∴函数f(x)在[a,+∞)上递增，故当b＞a时，f(b)＞f(a).===>b㏑a-a㏑b＞a㏑a-a㏑a=0.===>b㏑a＞a㏑b.===>㏑(a^b)＞㏑(b^a).===>a^b＞b^a.证毕。