![](https://iknow-base.cdn.bcebos.com/lxb/notice.png)
已知AB为半圆O的直径,点P为AB上任意一点,以A为圆心AP为半径作圆A,圆A与半圆A相交于C,以点B为圆心BP为
已知AB是半圆O的直径,点P为直径AB上的任意一点,以A为圆心AP为半径作圆A交半圆O于C,以B为圆心BP为半径作圆B,交半圆O于D。线段CD的中点为M。求证:MP分别与...
已知AB是半圆O的直径,点P为直径AB上的任意一点,以A为圆心AP为半径作圆A交半圆O于C,以B为圆心BP为半径作圆B,交半圆O于D。线段CD的中点为M。求证:MP分别与圆A与圆B相切
展开
展开全部
证明:连接AC,AB,BC,BD,过C,D作CQ,DN垂直AB于点Q,N.则PA^2=AQ*AB,PB^2=BN^AB,
PA^2-PB^2=(PA+PB)(PA-PB)=(AQ-BN)AB,即:PA-PB=AQ-BN,PA-AQ=PB-BN,亦即
PQ=PN,易证PM为梯形CQDN的中位线,所以MP垂直AB,问题得证。
PA^2-PB^2=(PA+PB)(PA-PB)=(AQ-BN)AB,即:PA-PB=AQ-BN,PA-AQ=PB-BN,亦即
PQ=PN,易证PM为梯形CQDN的中位线,所以MP垂直AB,问题得证。
展开全部
只要证明MP垂直于AB即可!
本回答被网友采纳
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
证明:如图,连接AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F
∴CE∥DF,∠AEC=90°,∠BFD=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角,
∴△ACB∽△AEC,
∴AC:AB=AE:AC
即PA2=AC2=AE•AB,
同理PB2=BD2=BF•AB.
两式相减可得PA2-PB2=AB(AE-BF),
∴PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)=AB(PA-PB),
∴AE-BF=PA-PB,即PA-AE=PB-BF,
∴PE=PF,
∴点P是线段EF的中点.
∵M是CD的中点,
∴MP是直角梯形CDEF的中位线,
∴MP⊥AB,
∴MP分别与⊙A和⊙B相切.
自己画图
∴CE∥DF,∠AEC=90°,∠BFD=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角,
∴△ACB∽△AEC,
∴AC:AB=AE:AC
即PA2=AC2=AE•AB,
同理PB2=BD2=BF•AB.
两式相减可得PA2-PB2=AB(AE-BF),
∴PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)=AB(PA-PB),
∴AE-BF=PA-PB,即PA-AE=PB-BF,
∴PE=PF,
∴点P是线段EF的中点.
∵M是CD的中点,
∴MP是直角梯形CDEF的中位线,
∴MP⊥AB,
∴MP分别与⊙A和⊙B相切.
自己画图
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
设P点为坐标原点.
设O点坐标为:(d,0)
A,B点坐标为:(d-r,0),(d+r,0)
圆O的方程为:
(x-d)^2+y^2=r^2 -----(1)
圆A的方程为:
(x-d+r)^2+y^2=(d-r)^2------(2)
圆B的方程为:
(x-d-r)^2+y^2=(d+r)^2------(3)
由(1)和(2)组成方程组,可得C点的x坐标.
(1)-(2)得:
(x-d)^2-(x-d+r)^2=r^2-(d-r)^2
即:(2x-2d+r)*r=d^2-2rd
x=1/2[(d^2-2rd)/r-r+2d]
所以C点的x坐标为:1/2[(d^2-2rd)/r-r+2d]
同样可得D点的x坐标为:1/2[(d^2+2rd)/r+r+2d]
因M为CD的中点,
所以M点的x坐标为:1/2{1/2[(-d^2-2rd)/r-r+2d]+1/2[(d^2+2rd)/r+r+2d]}=0
即M在y轴上.MP垂直AB
所以MP分别与⊙A和⊙B相切
问题得证.
设O点坐标为:(d,0)
A,B点坐标为:(d-r,0),(d+r,0)
圆O的方程为:
(x-d)^2+y^2=r^2 -----(1)
圆A的方程为:
(x-d+r)^2+y^2=(d-r)^2------(2)
圆B的方程为:
(x-d-r)^2+y^2=(d+r)^2------(3)
由(1)和(2)组成方程组,可得C点的x坐标.
(1)-(2)得:
(x-d)^2-(x-d+r)^2=r^2-(d-r)^2
即:(2x-2d+r)*r=d^2-2rd
x=1/2[(d^2-2rd)/r-r+2d]
所以C点的x坐标为:1/2[(d^2-2rd)/r-r+2d]
同样可得D点的x坐标为:1/2[(d^2+2rd)/r+r+2d]
因M为CD的中点,
所以M点的x坐标为:1/2{1/2[(-d^2-2rd)/r-r+2d]+1/2[(d^2+2rd)/r+r+2d]}=0
即M在y轴上.MP垂直AB
所以MP分别与⊙A和⊙B相切
问题得证.
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
过点C,D分别作CE,DF与AB垂直,垂足为E,F。连接AD,BC,只要证MP是直角梯形CEFD的中位线即可
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
不给分不给证,证垂直!
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询