Question

如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线．在 AB 上任取一点C（点C与A、B不重合

如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线．在 AB 上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E．连接BD，交CE于点F．（1）当点C为 AB 的中点时（如图1），求证：CF=EF；（2）当点C不是 AB 的中点时（如图2），试判断CF与EF的 相等关系是否保持不变，并证明你的结论．

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Answer 1

证明：（1）∵DA是切线，AB为直径， ∴DA⊥AB． ∵点C是 AB 的中点，且CE⊥AB， ∴点E为半圆的圆心． 又∵DC是切线， ∴DC⊥EC． 又∵CE⊥AB， ∴四边形DAEC是矩形． ∴CD ∥ AO，CD=AD． ∴ EF AD = BE AB = 1 2 ． 即EF= 1 2 AD= 1 2 EC． ∴F为EC的中点，CF=EF． （2）CF=EF， 证明：连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，如图所示： ∵AD、DC是半圆O的切线，∴DC=DA， ∴∠DAC=∠DCA． ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACG=90°． ∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°． ∴∠DGC=∠DCG． ∴在△GDC中，GD=DC． ∵DC=DA， ∴GD=DA． ∵AP是半圆O的切线， ∴AP⊥AB，又CE⊥AB． ∴CE ∥ AP． ∴ CF GD = BE AB = EF AD ． ∵GD=AD， ∴CF=EF．