Question

如图，已知AB是圆O的直径，AP是圆O的切线，A为切点，BP与圆O交于点C，D为AP的中点，求证CD为圆O切线

我自己做的，大家看行不行：
连接AC,OD.CO设CA,OD交点为E
∵AO=OC
∴∠OAE=∠OCE
又∵OE公用
∴△AOE≌△OCE
∴∠AOE=∠COE
又∵OD公用，AO=CO
∴∠OAD=∠OCD
∴角OCD=90°
∴CD为圆O切线

Answer 1

可以，但似乎太麻烦了。如下证明可否：
连结AC、DC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACP=90°，
∵D是AP中点，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC+∠OAC=∠DCA+∠OCA，
即∠DAO=∠DCO，
∵DA是圆O的切线，
∴∠DAO=90°，
∴∠DCO=90°，
即DC是圆O的切线。

有疑问，请追问；若满意，请采纳，谢谢！

Answer 2

你的方法是正确的。
［另法］
∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥PB，又D、O分别是PA、AB的中点，∴CD＝AD、OC＝OA，
∴∠ACD＝∠DAC、∠ACO＝∠OAC，∴∠ACD＋∠ACO＝∠DAC＋∠OAC＝∠PAB＝90°，
∴∠DCO＝∠ACD＋∠ACO＝90°，∴CD切⊙O于C。