Question

已知AB为半圆O的直径，点P为AB上任意一点，以A为圆心AP为半径作圆A，圆A与半圆A相交于C，以点B为圆心BP为

已知AB是半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点，以A为圆心AP为半径作圆A交半圆O于C，以B为圆心BP为半径作圆B，交半圆O于D。线段CD的中点为M。求证：MP分别与圆A与圆B相切

Answer 1

证明：连接AC,AB,BC,BD,过C，D作CQ,DN垂直AB于点Q，N.则PA^2=AQ*AB,PB^2=BN^AB,
PA^2-PB^2=(PA+PB)(PA-PB)=(AQ-BN)AB,即：PA-PB=AQ-BN,PA-AQ=PB-BN,亦即
PQ=PN,易证PM为梯形CQDN的中位线，所以MP垂直AB,问题得证。

Answer 2

只要证明MP垂直于AB即可！

Answer 3

证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F
∴CE∥DF，∠AEC=90°，∠BFD=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角，
∴△ACB∽△AEC，
∴AC：AB=AE：AC
即PA2=AC2=AE•AB，
同理PB2=BD2=BF•AB．
两式相减可得PA2-PB2=AB（AE-BF），
∴PA2-PB2=（PA+PB）（PA-PB）=AB（PA-PB），
∴AE-BF=PA-PB，即PA-AE=PB-BF，
∴PE=PF，
∴点P是线段EF的中点．
∵M是CD的中点，
∴MP是直角梯形CDEF的中位线，
∴MP⊥AB，
∴MP分别与⊙A和⊙B相切．
自己画图

Answer 4

设P点为坐标原点.
设O点坐标为:(d,0)
A,B点坐标为:(d-r,0),(d+r,0)
圆O的方程为:
(x-d)^2+y^2=r^2 -----(1)
圆A的方程为:
(x-d+r)^2+y^2=(d-r)^2------(2)
圆B的方程为:
(x-d-r)^2+y^2=(d+r)^2------(3)
由(1)和(2)组成方程组,可得C点的x坐标.
(1)-(2)得:
(x-d)^2-(x-d+r)^2=r^2-(d-r)^2
即:(2x-2d+r)*r=d^2-2rd
x=1/2[(d^2-2rd)/r-r+2d]
所以C点的x坐标为:1/2[(d^2-2rd)/r-r+2d]
同样可得D点的x坐标为:1/2[(d^2+2rd)/r+r+2d]
因M为CD的中点,
所以M点的x坐标为:1/2{1/2[(-d^2-2rd)/r-r+2d]+1/2[(d^2+2rd)/r+r+2d]}=0
即M在y轴上.MP垂直AB
所以MP分别与⊙A和⊙B相切
问题得证.

Answer 5

过点C,D分别作CE,DF与AB垂直，垂足为E,F。连接AD,BC，只要证MP是直角梯形CEFD的中位线即可

Answer 6

不给分不给证，证垂直！