Question

设a∈R.函数f(x)=ax^3-3x^2

(1)若x=2是函数y=f(x)的极值点，求实数a的值。（2）若函数g(x)=e^xf(x)在[0,2]上是单调减函数，求实数a的取值范围。

Answer 1

f'(x)的导数：3ax^2-6x.令其x=2代入式子等于零即可。可以算出a=1
（2）g（x）是单调减函数。可以得出g（x）的导数小于零的。
g'（x）的导数：e^xf(x)(f(x)+xf'(x)=e^xf(x)(f(x)+ax^4-3x^3)<0
解不等式即可：因为e的指数函数都是大于零的。则f(x)+ax^4-3x^3<0
因0<x<2，结合图像即可得出；分成三种情况：（1）：a=0时。x<1
(2)a=3时。3x^2<3。则-1<x<1.
(3)a<0时且这个方程没根时。可以解出
从上所述：可以得出