Question

设m,n都是正整数，则反常积分∫(0,1)[ln(1-x)]^(1/m)/x^(1/n)dx的收敛性与m,n是否有关

这是2010年考研真题的第三个选择题，答案是与m,n都无关，我需要详细的解题过程，哪位高手帮帮忙，不胜感激！

Answer 1

ln(1-x)]^(1/m)/x^(1/n)~x^(2/m-1/n)(x->0+)
有个性质，设f(x)在(a,b)非负，对任意属于(a,b)的区域，f(x)在这个区域可积，又设x=a(或b)是f(x)的暇点，且lim(x-a)^pf(x)=k (x->a+0)
则当p<1且0<=k<正无穷时，暇积分收敛
(0,1/2)内，0是暇点， limx^(1/n-2/m)f(x)=1 (1/n-2/m显然小于1) 所以(0,1/2)内收敛
(1/2,1)内,1是暇点，lim(1-x)^pf(x)=0(对任意m,n) 则这个区域也收敛，
所以与mn无关。