Question

矩阵A经初等变换后变为矩阵B A并不等于B。但是为什么称A与B是等价的呢？

Answer 1

矩阵变换就是空间变换，三维矩阵初等变换还是三维空间，所以是等价的，只不过空间里的物体发生变形，这正是我们需要的，本来空间里有一个斜着的立方体，我们不好算，可以把空间经过初等变化，把它变成竖直的立方体，这样方便计算。解方程也是如此，1/2x＋1/4y=6难道你不想化简成2x＋y=24。这在二维空间里就好比把一个二维图像放大了，空间纬度不变，只是空间里的图像发生变化，我们就叫他等价，这样你算出来的xy也是不变的，因为图像长宽变大了，面积也跟着变大了，因为这些都是线性变换，大学只学，就是线性代数

Answer 2

这就是矩阵等价的定义呀，若A经过若干次初等行、列变换化为B，则A与B等价。
矩阵等价的本质是秩相同，只要两个m×n的矩阵秩相同，它们就是等价的。初等变换不改变矩阵的秩，因此初等变换每一步得到的矩阵都是等价的。