Question

利用单调有界准则求极限例题

利用单调有界必有极限准则证明下列数列的极限存在并求极限,
x1=10,x(n+1)=根号（6+xn）n=1,2,3,4.

Answer 1

x(n+1)=√(6+xn）
1.x1-x2=10-4>0 现设x(n-1)>xn
xn-x(n+1)=√(6+x(n-1))-√(6+xn)
=(x(n-1)-xn)/√(6+xn)+√(6+x(n-1))>0
由数学归纳法,xn>x(n+1),数列单减
2,因为x1>3,设xn>3,x(n+1)=√(6+xn)>√9=3 故xn有下界3
数列单减有下界,极限存在,设为a
在x(n+1)=√(6+xn）两边取极限得：a^2=6+a,解得a=3,a=-2(舍去）