Question

一个函数具有对称性

，是轴对称，有公式f(x+T)=f(-x),还有没有别的公式，是怎么证明的？还有一个函数具有对称性，是中心对称的关系，有什么公式，像轴对称公式那样的？是怎么出来的证出来的？
如果详细易懂，还有20到30的追分，谢谢大家！

Answer 1

你写的这个是轴3对称，但同时也是周期函数，真正的轴对称函数是f（x）=f（-x）中心对称的公式是f（x）=-f（-x）这个公式是根据函数的图和轴对称，中心对称的定义来给出的不需要具体的证明。你画一个y=x^2函数和y=x函数看一下就知道了，本来画了个图结果网速慢传不上去，自己画一个看看报

Answer 2

设Ax+By+C=0上任意一点P'(x',y'），它关于直线x+y=0的对称点为P(x,y),则PP'的斜率=1,即(y-y')/(x-x')=…①,PP'的中点M((x+x')/2,(y+y')/2)在直线x+y=0上,∴(x+x')/2+(y+y')/2=0…②,由①,②得x'==-y.y'=-x,把它代入Ax'+By'+C=0即得A(-y)+B(-x)+C=0,
即Bx+Ay-C=0.

Answer 3

1）如果一函数关于轴x=T（T为常数）对称，则有f（x）=f（2T-x）或者f(x+T)=f(T-x)。
这个用解析几何来或者用代数来解释都很简单，也可以当作是证明。
一函数关于轴x=T（T为常数）对称，就是说作直线y=Y（Y为f(x)值域内任意常数），与f（x）相交两点A（a，Y）和B（b，Y），与x=T相交于C（T，Y），则C为AB的中点。
可得a=2T-b，或者a+T=T-x。
由直线y=Y在f(x)值域内的任意性，可知f（x）=f（2T-x）或者f(x+T)=f(T-x)。

一函数关于轴x=T（T为常数）对称，取任意一点P（x，f（x）），函数上必存在与其关于x=T的对称的点Q（q，f（q）），即点（T，f（x））为PQ的中点。用中点公式可得q=2T-x，f(q)=f(x)，即f（x）=f（2T-x）。由P点的任意性可知该式在定义区成立。
类似的取P（x+T，f（x+T）），同样道理可证明f(x+T)=f(T-x)。

2）若一函数f（x）关于点O（a，b）中心对称，则有f（x）+f（2a-x）=2b或者f（a+x）+f(a-x)=2b。
任取P（x，f（x）），则必定可以在f（x）上找到点Q（q，f（q））且O（a，b）为PQ的中点。
q+x=2a 且f（q）+f（x）=2b，用x表示q，可得f（x）+f（2a-x）=2b。
类似设这个人任意点为P（x+a，f（x+a）），同样方法可得f（a+x）+f(a-x)=2b。

解析几何的方法和代数的方法其实是同一个本质，只是两种不同的叙述方法，只要理解透彻定义，加上一点代数的技巧或解析几何的直观，这类问题是很容易理解和证明的。