Question

若多项式f(x)=x的4次方-x³+ax²+bx+c能被(x-1)³整除,求a,b,c的值

Answer 1

方法一：设f(x)=(x-1)³(x+n),展开后与原式对比系数，由方程组解出a,b,c

方法二：综合除法

        参考http://baike.baidu.com/view/924344.htm中

        “对于综合除法的一个好方法”那一段

        但是他的示意图没画清楚，我重画一下，

        以(3x^3-6x^2+4x-1)/(x-1)为例。由综合除法可得

         (3x^3-6x^2+4x-1)/(x-1)=  3x^2-3x+1   

             此题由f(x)/(x-1)=(x^3+ax+a+b) , 余数 a+b+c=0   

                        (x^3+ax+a+b)/(x-1)  = (x^2+x+a+1)余数2a+b+1=0

                        (x^2+x+a+1)/(x-1)  =(x+2)  余数a+3=0

            由以上三式解得a=-3,b=5,c=-2

Answer 2

解：易知,f(x)=(x-1)³(x+t).(t∈R).∴f(1)=0.即a+b+c=0.===>c=-a-b.∴f(x)=x^4-x³+ax²+bx-a-b=x³(x-1)+a(x-1)(x+1)+b(x-1)=(x-1)[x³+a(x+1)+b]=(x-1)³(x+t).===>x³+a(x+1)+b=(x-1)²(x+t).当x=1时，1+2a+b=0.===>b=-1-2a.∴x³+a(x+1)+b=x³+ax+a-2a-1=(x³-1)+a(x-1)=(x-1)(x²+x+1+a).∴x²+x+1+a=(x-1)(x+t).当x=1时3+a=0.===>a=-3.b=5.c=-2.