Question

设：0<a<b,f(x)在[a,b]上可导，证明存在ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=ξf'(ξ)lnb/a

Answer 1

对于f(x)和lnx，存在ξ∈(a,b),使得（f(b)-f(a)）/（lnb-lna） =f'(ξ)/ln'(ξ)
（这个定理楼主知道吧？定理原内容是吧lnx换成gx了，名字是啥我忘了，柯西中值定理还是什么中值定理来着……）
化简得到f(b)-f(a)=ξf'(ξ)ln(b/a )
即：存在ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=ξf'(ξ)lnb/a

Answer 2

证明对于f(x)和ln x在[a, b]上用柯西中值定理, 有
[f(b)-f(a)]/[lnb-lna]=f'(ξ) ξ∈(a, b),
即 f(b)-f(a)=ξf'(ξ)lnb/a ξ∈(a, b).