Question

已知f(x)=1/x+aln(x+1)在[2,4]上为单调函数,求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=1/x+aln(x+1)
对函数f(x)求导
f‘(x)=-1/x^2+a/(x+1)
已知函数f(x)在[2,4]上为单调函数
则在此区间函数f(x)的导函数要恒大于0，或者小于0
（1）假设函数f(x)的导函数恒大于0，则有
f‘(x)=-1/x^2+a/(x+1)》0
化简：（ax^2-x-1）/(x^2*(x+1))>0
(x^2*(x+1))可约去（因为f(x)在[2,4]上为单调函数，(x^2*(x+1))>0）
ax^2-x-1>0
对于ax^2-x-1的最值点为（1/（2a），1/(4a)-1）,当a>0时,
当1/（2a）>4时，
令g（x）=ax^2-x-1，g（4）>0,
解得：
当1/（2a）<2时，
g（2）>0，
解得
当2<1/（2a）<4时，
则1/(4a)-1>0,
解得：
当a<0时，
当1/（2a）>4时，
g（2）>0，
解得：
当1/（2a）<2时，
g（4）>0,
解得：
当2<1/（2a）<4时，
g（2）>0且g（4）>0,
（2）假设函数f(x)的导函数恒小于0，则有
后面同理了，做法和大于0时差不多了，就你自己做了吧，当然我也没算答案哈，自己算喽

Answer 2

a<=0