Question

已知函数f(x)=x^2+alnx 若g（x）=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围。

1.求解答过程
2.是要分情况讨论对吗，那“假设g（x）是增函数时，
g'(x)=2x+(a/x)-(2/x^2)=(2x^3+ax-2)/x^2
因为x∈[1,+∞)，所以：x^2＞0
则，令h(x)=2x^3+ax-2 ”到这一步时怎么算？

Answer 1

已知函数f(x)=x^2+alnx 若g（x）=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范
解析：∵函数f(x)=x^2+alnx，其定义域为x>0
G(x)=f(x)+2/x= x^2+alnx+2/x
令G’(x)=2 x+a/x-2/x^2=0==>(2x^3+ax-2)/(x^2)=0
∵x^2>0
∴2x^3+ax-2=0==>a=(2-2x^3)/x
当a=0时，x=1
G’’(x)=2-a/x^2+4/x^3=(2x^3-ax+4)/x^3
∴G’’(1)>0
∴G(x)在x=1处取极小量值
∴g（x）=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数
当a>0时
(2-2x^3)/x>0==>0<x<1
∴g（x）=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数
当a<0时
(2-2x^3)/x<0==>x>1
∴g（x）=f(x)+2/x在[1,+∞)上不是单调函数

综上：实数a的取值范围为a>=0

Answer 2

g(x)=x²＋alnx＋2/x ====>>> g'(x)=2x＋a/x－2/(x²)在[1，＋∞)时与x轴无交点。
设h(x)=2x³＋ax－2，则h(x)在区间[1，＋∞)上与x轴无交点即可。
h'(x)=6x²＋a
1、若a≥0，则h(x)在已知区间上递增，最小值是h(1)=6＋a>0，与x轴肯定无交点，满足；
2、若a<0，则h(x)在(－∞，－√(－a/6))上递增，在(－√(－a/6)，√(－a/6))上递减，在(√(－a/6)，＋∞)上递增。①若a≤－6，则只要h(√(－a/6))≥0即可；②若0<a<－6，只要h(1)≥0即可。
讨论完毕后在将a的范围合并。

Answer 3

：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当 a=-2e时，f′(x)=2x-2ex=2(x+e)(x-e)x．（2分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：
x (0，e) e (e，+∞)
f'（x） - 0 +
f（x） 极小值
由上表可知，函数 f(x)的单调递减区间是(0，e)；
单调递增区间是 (e，+∞)．
极小值是 f(e)=0．（6分）
（2）由 g(x)=x2+alnx+2x，得g′(x)=2x+ax-2x2．
又函数 g(x)=x2+alnx+2x为[1，3]上单调减函数，
则g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，所以不等式 2x-2x2+ax≤0在[1，3]上恒成立．
即 a≤2x-2x2在[1，3]上恒成立．（10分）
又 ϕ(x)=2x-2x2在[1，3]为减函数，
所以 ϕ(x)的最小值为ϕ(3)=-523．
所以 a≤-523．（12分）

Answer 4

用分离变量的方法来做。
令h(x)=2x^3+ax-2，因为原函数单调，所以h(x)在[1,+∞)恒大于零或者恒小于零，即2x^3+ax-2恒大于零或恒小于零，即a大于2(1-x^3)/x的最大值或小于其最小值。不难发现在[1,+∞)上，2(1-x^3)/x是个单调递减的函数，当x=1时取到大值0，当x趋向于正无穷时2(1-x^3)/x趋向于负无穷，所以a大于0 。
不知道这样做是否有漏洞，但是楼上两位的答案应该是错误的。当a=0时，显然满足h（x）在[1,+∞)上大于零，而两位的答案中并不包含a=0.

Answer 5

事实上，g（x）只可能是增函数，你这样假设是正确的，后面的h（x）表达式也印证了这一点，所以假设一步可省去
h(x)=2x^3+ax-2在[1,+∞)恒大于等于0，或恒小于等于0，由图像只可能是恒大于等于0
然后分情况谈论，
h（1）》0是前提，即a》1，而a》1对称轴是x=-a/4为负不在[1,+∞)，所以a》1即可

追问

怎么画h(x)的图像呢?a不是不知道的?

追答

开口向上。其它不用画图像