Question

已知函数f(x)=x^2+alnx.

1.当a=-2时，求函数f(x)的单调区间和极值
2.若g(x)=f(x)+2/x在【1，正无穷）上是单调函数，求实数a的取值范围
求 第二问详细

Answer 1

解： 1) 函数f(x)=x^2 alnx的定义域是（0， ∞），因为a=-2 所以f(x)=x^2-2lnx f′(x)=2x-2/x。令f′(x)=0，得x=1.所以当0<x<1时，有f′(x)=2x-2/x<0,故函数f(x)是在区间（0，1）上递减。 2) g(x)=f(x) (2/x)=x^2 alnx (2/x) 所以：g'(x)=2x (a/x)-(2/x^2)=(2x^3 ax-2)/x^2 因为x∈[1, ∞)，所以：x^2＞0 则，令h(x)=2x^3 ax-2 要满足g(x)在[1, ∞)上是单调增函数，则g'(x)在该区间上大于零， 即函数h(x)在该区间上的最小值大于零. h'(x)=6x^2 a，h''(x)=12x＞0 所以，h'(x)为单调增函数 所以，h'(x)在[1, ∞)上的最小值为h'(1)=6 a 所以，6 a＞0 则a＞-6

Answer 2

如果题目是正确的，那么就是复数范围内解题了。首先x>0。第一问，对f(x)求导，得f'(x)=2x+1/x，令f‘(x)=0，得x=2分之根号2再乘以i。故(0，正无穷)上f(x)为增函数，在x=2分之根号2再乘以i时，f'(x)=0，f(x)=ln2分之根号2再乘以i-1/2。第二问:a>-2