Question

已知函数f(x)=2x+2/x+alnx，a∈R

(1)若函数f(x)在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围
（2）记函数g(x)=x^2[f'(x)+2x-2]，若g(x)的最小值是-6，求函数f(x）的解析式

Answer 1

1、f(x)=2x+2/x+alnx，设y1=2x+2/x,y2=alnx,∴f(x)=y1+y2
y1是典型的对号函数，又由f(x)的解析式可知 x>0,y1在（0,1]递减，[1，+∞）递增
y2是对数函数，要使函数f(x)在[1，+∞）上单调递增，y2也得是在x∈[1，+∞）递增
又∵lnx在[1，+∞）递增，∴a≧0
2、f'(x)=2-2/(x^2)+a/x,代入可得g(x)=2x^3+ax-2,
∵g(x)有最小值，
∴g'(x)=6x^2+a=0有解
∴a<0
由f(x)的解析式可知 x>0
故解得上方程得x=√(-a/6)（x=-√(-a/6)舍去）
∴x∈﹙0，√(-a/6)﹚g'(x)<0,g(x)是减函数
x∈（√(-a/6)，+∞）g'(x)>0,g(x)是增函数
∴x=√(-a/6)时，g(x)取最小值
∴代入g(√(-a/6))=-6
解得a=-6