Question

设函数f(x)对任意x∈R都满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x)，且当x∈[0,1]时

，f(x)=x^3.又函数g(x)=|xcos(πx)|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在[-1/2,3/2]上的零点个数为？

Answer 1

由f(x)=f(2-x)知函数f(x)关于x=1对称

因x∈[0,1]时，f(x)=x^3，由此可得到f(x)在整个R上的图象(如图）

显然g(x)是一个偶函数，图象关于y轴对称；g(x)还是一个非负函数，图象在x轴上方；g(x)还是一个波动函数，波动具有一定的周期性。用取点法作出g(x)部分图象：

x=0，πx=0，g(x)=0

x=1/2，πx=π/2，g(x)=0

x=1，πx=π，g(x)=1

x=3/2，πx=3π/2，g(x)=0

x=2，πx=2π，g(x)=2

...

观察发现：

在区间[-1/2，0)上，函数g(x)与f(x)无交点

在x=0处，函数g(x)与f(x)有1个交点

在区间(0，1/2]上，函数g(x)与f(x)有1个交点

在区间(1/2，3/2]上，函数g(x)与f(x)有3个交点

 

因函数h(x)=g(x)-h(x)的零点就是函数g(x)与f(x)交点对应的横坐标，函数h(x)的零点个数就是函数g(x)与f(x)的交点个数，所以函数h(x)=g(x)-h(x)在区间[-1/2，3/2]上的零点有5个。g(x)与f(x)图象如下：

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