Question

已知一个球半径为R，在球内做一个内接圆柱，求使圆柱体积最大的底面半径和高

如题，求解尽量详细

Answer 1

假设内接圆柱的底面半径为r,高为2h，则有R2=r2+h2
圆柱的体积为 π*r2*2h <= π*(r2 + 2h)/2
当r2=2h时取等号，即R2 — h2 = 2h
解得h= 根号下（1+R2）—1
则r=根号下（2（根号下（1+R2）—1））时，内接圆柱的体积最大为 4π（根号下（1+R2）—1）2

r2表示r的平方，其他类似。求最大值关键用到 2ab <= a2+b2 这个公式

Answer 2

设内接圆柱的半径为x，高为y，则侧面积S=2πxy，且y=2√(R^2-x^2)
则S=4∏x√(R^2-x^2)=4∏√(R^2x^2-x^4)=4∏√(-(x^2-R^2/2)+R^4/4)则
x^2=R^2/2时有最大值。此时，x=√（R^2/2）,y=2√（R^2/2）
即x/y=1/2。