Question

在平面直角坐标系x0y中,已知抛物线y^2=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.

(1).求抛物线的标准方程(2).设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点。关键是（2）题！

Answer 1

(1)焦点坐标为 (P/2，0)，横坐标为4的点的坐标为（4，（8P）^0.5）
用两点间距离公式可得：（8P+(p/2-4)^2）^0.5=5 解之得 P=2
所以抛物线的标准方程为： y^2=4x
(2)设C点坐标为（m,n）圆的半径为R 则圆C的方程为 （x-m）^2+（y-n）^2=R^2
由已知可知 R^2=2^2+m^2 且n^2=4m
带入整理可得：
即(x-1/4*n^2)^2+(y-n)^2+4-1/16*n^4=0对某一定点恒成立
所以 4-1/16*n^4=0 y=n x=1/4*n^2
解得 n=8^0.5 x=2 y=8^0.5
所以圆C过定点（2，8^0.5）

Answer 2

1: y^2=4x
2:设C(m ,n) 则 有n^2=4m 式一
又由题圆的半径平方为 m^2+4 所以 圆可以表示为 (x-m)^2+(y-n)^2=m^2+4 式二
将式一带入式二 消去m 的 (1- x/2)n^2-2yn+x^2+y^2-4=0 使得
1-x/2=0
-2y=0
x^2+y^2-4=0 同时成立 得 x=2 y=0 所以圆C过定点 (2,0)

Answer 3

1.因为p>0.所以符合“横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5”这条件的p=18
方程为 y^2=36x